一句话：逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大化似然函数的方法，运用梯度下降求解参数，来达到将数据二分类的目的。
假设函数
逻辑回归算法是将线性函数的结果映射到 sigmoid 函数中：
\[ h_{\theta}{(x)}=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{1}{1+e^{\theta^{T}x}} \]
函数的形式如下：
因此对于输入 x 分类结果为类别 1 和类别 0 的概率分别为：
\[ \begin{align} P(y=1|x;\theta)&=h_{\theta}{(x)}\\ P(y=0|x;\theta)&=1-h_{\theta}(x) \end{align} \]
极大似然估计
利用极大似然估计的方法求解损失函数，首先得到概率函数为：
\[ P(y|x;\theta)=(h_{\theta}(x))^y*(1-h_{\theta}{(x)})^{1-y} \]
因为样本数据互相独立，所以它们的联合分布可以表示为各边际分布的乘积，取似然函数为：\[ \begin{align} L(\theta)&=\prod_{i=1}^{m}{P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)}\\ &=\prod_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x^{(i)}))^{y^{(i)}}*(1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}})} \end{align} \]
取对数似然函数：\[ l(\theta)=\log(L(\theta))=\sum_{i=1}^{m}{(y^{(i)}\log{(h_{\theta}(x^{(i)}))}+(1-y^{(i)})\log({1-h_{\theta}{(x^{(i)})}}))} \]
最大似然估计就是要求得使 \(l(\theta)\) 取最大值时的 \(\theta\) ，为了应用梯度下降法。我们稍微变换一下：\[ J(\theta)=-\frac{1}{m}l(\theta) \]
为什么使用极大似然函数来作为损失函数？
- 对损失函数求负梯度之后，参数的更新只与 \(x_j^i\) 和 \(y^i\) 相关，和
sigmoid函数本身的梯度是无关的； - 从损失函数的函数图形来分析：
对于单个样本来讲，\(J(\theta)\) 所对应的 \(C(\theta)\) 为：
\[ C(\theta)=-[y\log{h_{\theta}(x)}+(1-y)\log{(1-h_{\theta}(x))}] \]
当 \(y=1\) 时：\(C(\theta)=-\log{h_{\theta}(x)}\)其函数图像为：
从图中可以看出，对于正类 \(y=1\)，当预测值 \(h_{\theta}(x)=1\) 时，损失函数 \(C(\theta)\) 的值为 0，这正是我们希望得到的。反之，则会给学习算法较大的惩罚。
当 \(y=0\) 时：\(C(\theta)=-\log{(1-h_{\theta}(x))}\)
其函数图像为：
分析同上。
存在的缺点
- 准确率不是很高，因为形式比较简单，很难去拟合数据的真实分布；
- 很难处理数据不平衡的问题，比如正负样本比为 10000:1 时，把所有的样本都预测为正，也能使损失函数的值比较小；
- 处理非线性数据较麻烦
- 逻辑回归本身无法筛选特征。有时候用 GBDT 来筛选特征，然后再用逻辑回归。